Vitesse moyenne d'un fluide dans une conduite

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Vitesse moyenne d'un fluide dans une conduite

Messagede BlackAndScholes » 08 Sep 2018, 16:50

Soit un profil de vitesse donné par la loi de poiseuille dans une conduite cylindrique, on veut déterminer la vitesse moyenne du fluide sur la surface S où S est la section transversale du cylindre en une abscisse x.

Pourquoi lorsque j'intègre v selon une surface élémentaire 2pirdr sur [0;R] puis que je divise par S et lorsque j'intègre v(r)dr selon l'intervalle [0;R] et que je divise par R je n'obtiens pas le même résultat, je conçois bien que mathématiquement il est "trivial" de démontrer que ces deux calculs soient différents, mais physiquement en quoi la vitesse moyenne selon le rayon est différente de la vitesse moyenne selon la surface de la conduite ? Sachant que v ne dépend que de r et qu'il est donc constant selon la composante circonferentielle de la conduite.

j'essaye de démontrer que le second calcul n'a aucun sens mais je n'ai pas les arguments pour démontrer que c'est le cas. En effet supposons que l'on additionne un nombre R/dr de vitesse selon r à intervalles réguliers dr (addition que je nomme somme dans mes calculs) puis que l'on divise par R/dr cette somme de vitesses à valeurs dans [v(R);v(0)] , en théorie je ne vois pas Pourquoi ce calcul ne mènerait pas à la vitesse moyenne selon r dans la conduite vu que ce calcul est une intégrale de Riemann

Tq somme/(R/dr)=(v(0)+v(dr)+v(2dr)....+v(R))/(R/dr)

Merci à ceux qui prendront le temps de me répondre afin que je puisse démontrer rigoureusement que ces deux calculs ne peuvent mener à la même vitesse moyenne et peut être même généraliser mon résultat.
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Re: Vitesse moyenne d'un fluide dans une conduite

Messagede virgule » 09 Sep 2018, 20:25

salut,
dans le deuxième cas, tu calcules la vitesse moyenne uniquement selon un axe radial, ça ne tient pas entièrement compte des couches de plus grand rayon. Dans le premier calcul la surface élémentaire 2.pi.r.dr augmente avec le rayon : les couches de plus grand rayon, qui vont à faible vitesse, ont une aire élémentaire plus grande que les couches de petit rayon, qui vont à grande vitesse, plus rayon est grand, et plus la couche(R) va avoir du poids dans la vitesse moyenne.
Le calcul surfacique tient compte de l'ensemble du tuyau.
Je ne sais pas si je suis clair...?
virgule
 
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