Exercice d'électrostatique

[Vince31]

Bonjour,
Je viens de démarrer la lecture du livre "Physique Tome 2 Electricité et magnétisme" de H. Benson 4ème éd.
A la fin du chapitre 3 "Le théorème de Gauss" l'auteur pose la question suivante (Q14):

Soit une charge ponctuelle Q située au centre d'une sphère creuse conductrice et une charge ponctuelle q à l'extérieur de la sphère.
(a) La charge q est-elle soumise à une force ?
(b) La charge Q est-elle soumise à une force ?
(c) S'il y a une différence entre les forces agissant sur les charges, conciliez votre réponse avec la troisième loi de Newton.

J'ai du mal à y répondre et j'aurais besoin d'aide. Je signale qu'à ce stade du livre, aucune justification ne nécessite d'utiliser la notion de potentiel électrostatique (vu au chap. suivant).
En revanche sont connus : la loi de Coulomb, le principe de superposition, le théorème de Gauss, le théorème de Coulomb, champ nul dans les conducteurs homogènes à l'équilibre et leur éventuelle cavité si pas de charge à l'intérieur, etc.

Selon moi la charge Q ne subit aucune force car le champ généré à son endroit par la charge q est compensé par le champ généré par la charge superficielle qui apparaît à la surface de la sphère conductrice quand q est proche de la sphère (cage de Faraday ici ?? même si je n'en suis pas sûr car pour que la cage "fonctionne" elle doit normalement être vide de charge, ce qui n'est pas le cas ici)

En revanche la charge q subit une force résultante due à la fois au champ généré par Q mais également au champ généré par les charges superficielles précédentes sur la sphère.
Problème, dans cette situation, je n'arrive pas à concilier cette réponse avec la troisième loi de Newton : q agit sur les charges superficielles mais les charges superficielles ET Q agissent sur q ?!?

Merci d'avance pour votre aide.
Vincent

[gts2]

Bonjour,

Une cage de Faraday peut fonctionner avec des charges à l'intérieur à condition d'être maintenu à un potentiel constant (mais comme le potentiel n'a pas encore été vu et que ce n'est pas le cas...)

La charge Q est bien soumise, entre autres, à q et aux charges surfaciques extérieures mais la compensation entre les deux n'a lieu que dans la coquille.

[Vince31]

Bonjour et merci de votre réponse.

Quand vous dites "entre autres", je suppose que vous voulez parler des charges superficielles sur la surface intérieure de la coquille, qui participe également au champ s'exerçant sur Q.

L'application du théorème de Gauss à une surface passant partout dans le conducteur implique que cette charge sur la surface interne vaut -Q (qu'on supposera négative ici pour la suite du discours).

Les questions que je me pose alors sont :
- Cette charge sur la surface interne n'est-elle constituée que charges ponctuelles négatives ou bien est-elle séparée en charges positives "d'un coté" et négatives "de l'autre" mais dont la charge totale vaut -Q.
- Si seules des charges négatives tapissent la surface interne, quelle est alors l'allure du champ dans la cavité (champ créé par q et les charges des surfaces externe et interne de la sphère, qui doit être non nul puisque qu'une force s'exerce sur la charge ponctuelle Q au centre). Dans le cas où les charges + et - seraient séparées, je visualise plus facilement l'allure du champ...

[gts2]

C'est bien à cela que je pensais, mais plus je creuse, moins j'en suis sûr !

[Vince31]

Après longue réflexion, je pense que j'ai finalement trouvé d'où venait mon erreur.

Premièrement la charge sur la surface interne (et celle qui lui est exactement opposée sur la surface externe pour assurer la neutralité de la sphère, dues à la présence de Q seule) n'intervient pas dans le problème (ou du moins le champ que ces charges génèrent est nul sauf à l'intérieur de la coquille).

Donc on se retrouve avec seulement trois systèmes en interaction : les charges q et Q ainsi que les charges de la surface externe (de charge totale nulle) mais qui sont dues uniquement à la seule présence de q.

- Sur Q la force résultante est nulle : elle est la somme vectorielle de la force due à q et de celle de même intensité mais opposée due aux charges de la surface externe (on retrouve bien ici la cage de faraday).
- Sur q, la force résultante est la somme vectorielle de celle due à Q et aux charges de la surface externe : elle n'est pas forcément nulle.
- Sur les charges de la surface externe, la force résultante est la somme vectorielle des forces dues à Q et à q : par un petit calcul tout simple on peut montrer que son intensité est la même que la force sur q mais de sens opposé.

La troisième loi de Newton est ainsi vérifiée ! ouf

Merci encore d'avoir répondu à mes questions, cela m'a permis de ne pas lâcher l'affaire et de tirer je pense au clair cet exercice...

[eric_b]

Bonjour,

Merci pour cet exemple très intéressant (à poser en colle !), et qui permet de bien illustrer le théorème de Gauss (et la cage de Faraday ici)

Sauf erreur de ma part, je dirais que :

- le flux algébrique de E créé par Q à travers la coquille sphérique est NON NUL (car Q est à l'intérieur) => la charge q la voit et subit son interaction
- le flux algébrique de E créé par q à travers la coquille chargée est NUL (car q est à l'extérieur) => Q ne la voit pas !

Cet exemple permet aussi d'illustrer le fait que les interactions de type électrostatiques sont masquables, contrairement aux interactions de type gravitationnelles, qui ne le sont pas. Ce qui permet d'affirmer que les 2 sont de natures forcément différentes. Merci de me corriger si j'ai écrit des horreurs

[gts2]

Le calcul est fait complètement à http://xgarrido.github.io/licence_em_teaching/td_em_1.html, mais dans le cas potentiel imposé.
Ce qui n'est le cas de l'exo qui a l'air de considérer la sphère creuse isolée.