Vitesse instantanée

[choup78]

Bonjour
J'utilise la méthode centrée Mi-1 Mi+1 pour calculer la vitesse instantanée en Mi.
Une collègue fait pareil mais elle prend comme distance la somme des distances Mi-1Mi + MiMi+1
Alors que moi je prends ''la corde '' Mi-1Mi+1 comme distance... J'ai un doute du coup .. quelle est la ''bonne'' méthode?

[physicus]

La méthode centrée c'est une approximation qui dit que la vitesse de passage au point Mi c 'est la moyenne de la vitesse entre Mi-1Mi et MiMi+1

vi = 1/2 ( MMi-1Mi/Dt + MiMi+1/Dt ) = 1/2Dt . ( Mi-1Mi+1 )

en vecteur, Mi-1Mi+1 est la corde qui va s'approcher de la direction de la tangente en Mi mais sans forcement être la tangente , ça reste une approximation.

Toutes ces méthodes de détermination de la vitesse sont des techniques de dérivation numériques, donc des approximations.

Selon la précision souhaitée, on utilise plus ou moins de points. Il existe des méthodes de dérivation avec 5 points où on interpole localement la courbe expérimentale avec différents types de fonctions dont on connaît la dérivée. ça permet de diminuer les effets du "bruit de mesure" (incertitudes) qui sont amplifiés lors d'une dérivation numérique.

Personnellement, j'ai toujours trouvé bizarre que le système français s'acharne a utiliser cette construction géométrique des vecteurs vitesses alors qu'historiquement, on modélise la trajectoire[1] pour calculer ensuite les vitesses et les accélérations, c'est beaucoup moins sensible aux erreurs de mesures ... Je suppose que comme beaucoup de choses enseignées, c'est une tradition qui se perpétue comme l'utilisation de la table a mobiles autoporteurs que je ne vois jamais dans les protocoles étrangers... J'avais ainsi comparé en 2005 à la BU de Jussieu où je préparais en freelance mon agreg des manuels de physique sur tout le XXe siècle: on voyait des modes dans la façon de présenter les calculs qui percolaient du supérieur vers le secondaire au fur et à mesure que de jeunes normaliens devenaient IG ... un peu plus tard un vieux collègue de Math m'avait donné une clé de compréhension du pourquoi de mes cours de PC de 1987 hyper mathématisés: dans les années 60, les mathématiciens de l'ENS avaient créés le mouvement Bourbaki [2] pour systématiser les mathématiques: ça a déteint sur les normaliens de physique qui ont a leur tour abstrait et systématisé le formalisme de physique, puis les élèves étant fainéants, ils n'ont que partiellement repris les calculs de leurs maîtres que je retrouvais dans mes manuels des années 80 (beaucoup de formules, peu de textes), et j'avais observé ça justement à la BU de Jussieu.

[1] Newton est parti de la forme de l'orbite et de la loi des aires pour déterminer l expression de la loi de la gravitation universelle. Ensuite, il a intégré cette loi pour prédire les positions d'autres astres et généraliser la prédiction aux trajectoires de comètes.
[2] Bourbaki https://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki

[gts2]

Bonjour,
Comme dit par physicus, il n'y a pas de "bonne" méthode.
L'intérêt de la dérivée centrée par rapport à la dérivée à droite est de donner des résultats plus précis avec des accélérations ayant la bonne direction avec la même quantité de calcul.
La méthode alternative proposée complique le calcul (il faut mesurer deux longueurs au lieu d'une puis les ajouter) pour un gain discutable : dans le cas de la parabole le calcul usuel est exact ce qui n'est pas le cas de la méthode alternative. Dans le cas d'un mouvement circulaire, la méthode alternative donne un résultat amélioré de 20%.

Je suis d'accord avec physicus qu'étudier un mouvement en dérivant deux fois la position ne peut conduire qu'à des résultats très incertains.

[revertthierry]

Bonjour,
Il m’a semblé que l’on ne nous demande pas de démontrer la seconde loi de Newton mais de s’en approcher . Il me semble encore une fois que la construction graphique s’utilise pour expliquer la direction vectorielle entre la somme des forces et la variation du vecteur vitesse et ensuite on utilise une formule « regrettable » de variation de vitesse pour faire un peu de calcul …
RT

[snoopss]

Je pense aussi que cette façon d'approcher la seconde loi de Newton est pour lui donner du sens en 1ère plus facilement accessible (delta V a le sens de la résultante des forces) et de faire le lien avec le principe d'inertie vu en seconde.